Question

已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)f（x）=ax+

2

x+b

（x≠-b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象是否是中心對(duì)稱圖形？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用解析式直接求解．
（2）把函數(shù)解析式變形為2t+

2

t

類型判斷．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+

2

x+b

（x≠-b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）．
∴3=a+

2

1+b

，
∵a、b是正整數(shù)，
3-a＞0，0＜a＜3
∴當(dāng)a=1時(shí)b=0，不符合題意，
當(dāng)a=2時(shí)b=1符合題意，
所以f（x）=2x+

2

x+1

；
（2）f（x）=2x+

2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-2，
g（x）=2x+

2

x

是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
g（x）的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到f（x）的圖象．
所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，-2）中心對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，難度較大．