Question

16．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=1，求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 可考慮去求$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的最大值，并求出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=1+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，可設(shè)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=k$，從而需求k的最大值．這樣便考慮k＞0的情況：要建立關(guān)于k的等式，設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，從而${\overrightarrow{a}}^{2}{\overrightarrow}^{2}co{s}^{2}θ={k}^{2}$，${\overrightarrow}^{2}=\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}$，從而會(huì)得到$1=4{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}+k≥（\frac{4}{cosθ}+1）k$，從而$k≤\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$，容易說明cosθ=1時(shí)k取到最大值$\frac{1}{5}$，這便可得到$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的最大值，從而得出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件：
$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=1$+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
現(xiàn)求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最大值，設(shè)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=k$，設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為θ，則：
${\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow}^{2}•co{s}^{2}θ={k}^{2}$；
∵求k的最大值，∴先看k＞0的情況：
∴${\overrightarrow}^{2}=\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}$，代入$4{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1$；
∴$1=4{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}+k≥\frac{4k}{cosθ}+k$=$（\frac{4}{cosθ}+1）k$；
∴$k≤\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$；
∵cosθ＞0；
∴cosθ=1時(shí)，$\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$取最大值$\frac{1}{5}$；
∴k取最大值$\frac{1}{5}$；
∴$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的最大值為1$+\frac{3}{5}$=$\frac{8}{5}$；
∴$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的最大值為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，注意$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}≠{\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow}^{2}$，結(jié)合條件應(yīng)想到求$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$，基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}$，a，b＞0的運(yùn)用，知道cosθ的最大值為1，注意正確開平方．