Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈R，則有下列結(jié)論：①此函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱；②此函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$；③此函數(shù)在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上是增函數(shù)；④若角A是△ABC中的最小內(nèi)角，則f（A）的值域?yàn)?（1，\sqrt{2}]$．則其中為真命題的序號為②③④．（填上你認(rèn)為是真命題的所有序號）．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得函數(shù)解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x+$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得對稱軸，可判斷①不對；
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②正確；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間，從而判斷③正確；
由題意可得：0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得：$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{12}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷④正確；

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由x+$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得對稱軸為：x=kπ$+\frac{π}{4}$，k∈Z，故①不對；
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$，故②正確；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間為：（2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ$+\frac{π}{4}$），k∈Z，當(dāng)k=0時，有（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）?（-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$），故③正確；
由題意可得：0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得：$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{12}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，故④正確；
綜上，真命題的序號為②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．