Question

7．在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=3，則AB的取值范圍是（$\frac{{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}}{2}，\frac{{3（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}}{2}$）．

Answer 1

分析 延長BA，CD交于點E，則在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，設(shè)AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，再根據(jù)AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，以及0＜$\frac{1}{2}$x＜3，求得AB的范圍．

解答 解：如圖所示，延長BA，CD交于點E，則
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴設(shè)AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，
∵BC=3，
∴（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m）sin15°=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m=$\frac{3}{2}（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$，
∴0＜$\frac{1}{2}$x＜3，0＜x＜6，而AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AB的取值范圍為：（$\frac{{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}}{2}，\frac{{3（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}}{2}$）．

點評 本題考查求AB的取值范圍，考查三角形中的幾何計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．