Question

17．函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1上，m＞0，n＞0，則3m+n的最小值為（　　）

• A． 13
• B． 16
• C． 11+6$\sqrt{2}$
• D． 28

Answer 1

分析 利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點(diǎn)A（-3，-1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1，結(jié)合題意，利用基本不等式即可．

解答 解：∵x=-3時(shí)，函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）值恒為-1，
∴函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（-3，-1），
又點(diǎn)A在直線A在直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1上，
∴$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，又m，n＞0，
∴3m+n=（3m+n）•1
=（3m+n）•（$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=9+1+$\frac{3n}{m}$+$\frac{3m}{n}$
≥10+2$\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{3m}{n}}$
=16（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4時(shí)取“=”）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，考查基本不等式，求得$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1是關(guān)鍵，屬于中檔題．