Question

18．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=2，則$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+2b}$的最小值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 解法一：數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=2，可得a=2-2b＞0，解得0＜b＜1．于是$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+2b}$=$\frac{1}{3-2b}$+$\frac{1}{2+2b}$=f（b），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
解法二：由于（1+a）+（2+2b）=5，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解法一：∵正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=2，∴a=2-2b＞0，解得0＜b＜1．
則$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+2b}$=$\frac{1}{3-2b}$+$\frac{1}{2+2b}$=f（b），
f′（b）=$\frac{2}{（3-2b）^{2}}$-$\frac{2}{（2+2b）^{2}}$=$\frac{10（4b-1）}{（3-2b）^{2}（2+2b）^{2}}$，
可知：當(dāng)$b∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，f′（b）＜0，此時(shí)函數(shù)f（b）單調(diào)遞減；當(dāng)b∈$（\frac{1}{4}，1）$時(shí)，f′（b）＞0，此時(shí)函數(shù)f（b）單調(diào)遞增．
當(dāng)b=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（b）取得最小值，$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{3-2×\frac{1}{4}}$+$\frac{1}{2+2×\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{5}$，
解法二：∵（1+a）+（2+2b）=5，
∴$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+2b}$=$\frac{1}{5}$[（1+a）+（2+2b）]$（\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+2b}）$=$\frac{1}{5}$$（2+\frac{2+2b}{1+a}+\frac{1+a}{2+2b}）$≥$\frac{1}{5}（2+2\sqrt{\frac{2+2b}{1+a}•\frac{1+a}{2+2b}}）$=$\frac{4}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)．∴f（b）取得最小值$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．