Question

4．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=2，G和H分別是AE和AF的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BDGH∥平面CEF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取EF的中點(diǎn)M，連接AM，CM，連接GH，設(shè)AM交GH于N，則N為AM的中點(diǎn)，連接AC，BD交于O，由已知可得O為AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得ON∥MC，進(jìn)一步得到ON∥平面EFC，同理得到GH∥平面EFC，由面面平行的判定可得平面BDGH∥平面CEF；
（2）由（1）知，AC⊥BD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥平面BDEF．則由棱錐體積公式求得多面體ABCDEF的體積．

解答 （1）證明：取EF的中點(diǎn)M，連接AM，CM，
連接GH，設(shè)AM交GH于N，則N為AM的中點(diǎn)，
連接AC，BD交于O，∵底面為菱形，則O為AC的中點(diǎn)，
連接ON，則ON∥MC，
∵M(jìn)C?平面EFC，ON?平面EFC，∴ON∥平面EFC，
∵G和H分別是AE和AF的中點(diǎn)，∴GH∥EF，
∵EF?平面EFC，∴GH∥平面EFC，
又ON∩GH=N，∴平面BDGH∥平面CEF；
（2）解：由（1）知，AC⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，
∴AC⊥平面BDEF．
∵四邊形BDEF是矩形，BF=2，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，
∴${V}_{ABCDEF}=\frac{1}{3}×{S}_{BDEF}×AC=\frac{1}{3}×2×2×2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了棱錐體積的求法，是中檔題．