Question

6．a(chǎn)，b為正數(shù)，$\frac{1}{a}+\frac{1}$$≤2\sqrt{2}$，（a-b）²=4（ab）³，則a+b=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令s=a+b，t=ab，得到$\frac{\sqrt{2}}{4}$s≤t，由（a-b）²=4（ab）³，可以得到s²-4t=4t³，即可得到s²-4$\sqrt{2}$s+8≤0，解得即可．

解答 解：令s=a+b，t=ab
則由$\frac{1}{a}+\frac{1}$$≤2\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{4}$s≤t，
由（a-b）²=4（ab）³，得，（a+b）²-4ab=4（ab）³，
∴s²-4t=4t³，
即s²=4t+4t³≥$\sqrt{2}$s+$\frac{\sqrt{2}}{8}$s³，
即s²-4$\sqrt{2}$s+8=（s-2$\sqrt{2}$）²≤0，
解之得s=2$\sqrt{2}$．
則a+b的值等于2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是換元，以及轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．