Question

17．過點(diǎn)P（3，3）向圓O：x²+y²=4作兩條切線PA，PB，求：
（1）線段PA的長．
（2）弦AB所在的直線方程．
（3）問是否存在過點(diǎn)P的直線L交圓O于M，N兩點(diǎn)，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，若存在，求出直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用勾股定理，即可求出切線PA的長|PA|；
（2）寫出以P為圓心，|PA|為半徑的圓方程，由AB為兩圓的公共弦，求出弦AB所在的直線方程；
（3）存在過點(diǎn)P的直線L交圓O于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，
利用直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)的定義，
求出直線L的斜率k，即可寫出直線L的方程．

解答 解：（1）過點(diǎn)P（3，3）向圓O：x²+y²=4作兩條切線PA，PB，
則OA⊥PA，|OA|=r=2，|OP|=3$\sqrt{2}$，
∴|PA|²=|OP|²-|OA|²=${（3\sqrt{2}）}^{2}$-2²=14，
∴|PA|=3$\sqrt{2}$；
（2）以P為圓心，|PA|為半徑的圓方程為（x-3）²+（y-3）²=14，
∵AB為兩圓的公共弦，
∴弦AB所在的直線方程為[（x-3）²+（y-3）²-14]-（x²+y²-4）=0，
整理得：3x+3y-4=0；
（3）假設(shè)存在過點(diǎn)P的直線L：y-3=k（x-3）交圓O于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-3）}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y，得（k²+1）x²-（6k²-6k）x+（9k²-18k+5）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{6k}^{2}-6k}{{k}^{2}+1}$①，x₁x₂=$\frac{{9k}^{2}-18k+5}{{k}^{2}+1}$②；
又$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，
∴x₁-3=x₂-x₁，即x₂=2x₁-3③；
由①②③組成方程組，消去x₁、x₂，
整理得3k²-8k+3=0，
解得k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$或k=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴直線L的方程為y-3=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$（x-3）或y-3=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$（x-3）．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法以及解方程組的應(yīng)用問題，是綜合性題目．