如圖1,在矩形ABCD中,AB=3,AD=
3
,E為CD邊上的點(diǎn),且EC=2DE,AE與BD相交于點(diǎn)O,現(xiàn)沿AE將△ADE折起,連接DB,DC得到如圖2所示的幾何體.

(1)求證:AE⊥平面DOB;
(2)當(dāng)平面ADE⊥平面ABCE時(shí),求二面角A-DE-B的余弦值.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用
分析:(1)由AB=3,AD=
3
,DE=1得Rt△ADE∽Rt△DCB,∠EAD=∠BDC=30°,∠AED=∠DBC=60°,∠DOE=90°,AE⊥OD,AE⊥OB,即得AE⊥平面DOB;
(2)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面DAE和平面DEB的法向量,利用向量法求出二面角A-DE-B的余弦值.
解答: 解:(1)在矩形ABCD中,AB=3,AD=
3
,且EC=2DE,
∴DE=
1
3
DC=1,
AD
DC
=
DE
CB
=
3
3
=
1
3

∠ADC=∠DCB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△DCB,
∴∠EAD=∠BDC=30°,∠AED=∠DBC=60°,
∴∠DOE=90°,
即AE⊥OD,AE⊥OB,
又OD∩OB=O,
∴AE⊥平面DOB;
(2)∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,且OD⊥AE,OB⊥AE,
∴以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-
OA
,
OB
OD
,如圖所示,
∴A(
3
2
,0,0),B(0,
3
3
2
,0),C(-
3
2
,
3
,0),
D(0,0,
3
2
),E(-
1
2
,0,0);
DE
=(-
1
2
,0,-
3
2
),
EA
=(2,0,0),
EC
(-1,
3
,0);
設(shè)平面DEA的法向量為
n1
=(x,y,z),
n
DE
=0
n
EA
=0
,即
-
1
2
x-
3
2
z=0
2x=0
,
n1
=(0,1,0);
同理平面PAE的法向量為
n2
=(
3
,1,-1),
∴二面角A-DE-B的余弦值為
cosθ=cos<
n1
n2
>=
3
+1×1+0×(-1)
(
3
)
2
+12+(-1)2
=
5
5
點(diǎn)評:本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的證明問題,也考查了空間向量的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系并寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知f(x)=atanx-bcosx+4(其中以a、b為常數(shù)且ab≠0),如果f(3)=5,則f(2013π-3)的值為
 

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已知R是實(shí)數(shù)集,集合P={x|y=ln(x2+2014x-2015)},Q={y|y=
-x2+2x+3
},則(∁RP)∪Q(  )
A、(0,1]
B、[0,1]
C、(-2015,1]
D、[-2015,2]

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某中學(xué)部分學(xué)生參加市數(shù)學(xué)競賽取得了優(yōu)異成績,指導(dǎo)老師統(tǒng)計(jì)了所有參賽同學(xué)的成績(成績都為整數(shù),滿分120分),并且繪制了“頻數(shù)分布直方圖”(如圖)如果90分以上(含90分)獲獎(jiǎng),那么該校參賽學(xué)生的獲獎(jiǎng)率為( 。
A、
4
5
B、
7
16
C、
1
2
D、
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2
=1的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍;
(Ⅲ)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

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已知f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a(a∈R,a為常數(shù)).
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,
π
2
]時(shí),f(x)的最大值為4,求a的值.

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已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=-6,且a1•a2•a3=64,(|q|>1)
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(2)令bn=(2n+1)•an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的公式.

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A、30B、20C、10D、6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:2cos
π
2
-tan
π
4
+
3
4
tan2
π
6
-sin
π
6
+cos2
π
6
+sin
2

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同步練習(xí)冊答案