Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=

3

，E為CD邊上的點(diǎn)，且EC=2DE，AE與BD相交于點(diǎn)O，現(xiàn)沿AE將△ADE折起，連接DB，DC得到如圖2所示的幾何體．

（1）求證：AE⊥平面DOB；
（2）當(dāng)平面ADE⊥平面ABCE時(shí)，求二面角A-DE-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由AB=3，AD=

3

，DE=1得Rt△ADE∽Rt△DCB，∠EAD=∠BDC=30°，∠AED=∠DBC=60°，∠DOE=90°，AE⊥OD，AE⊥OB，即得AE⊥平面DOB；
（2）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面DAE和平面DEB的法向量，利用向量法求出二面角A-DE-B的余弦值．

解答： 解：（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=

3

，且EC=2DE，
∴DE=

1

3

DC=1，
∴

AD

DC

=

DE

CB

=

3

3

=

1

3

∠ADC=∠DCB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△DCB，
∴∠EAD=∠BDC=30°，∠AED=∠DBC=60°，
∴∠DOE=90°，
即AE⊥OD，AE⊥OB，
又OD∩OB=O，
∴AE⊥平面DOB；
（2）∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，且OD⊥AE，OB⊥AE，
∴以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-

OA

，

OB

，

OD

，如圖所示，
∴A（

3

2

，0，0），B（0，

3 3

2

，0），C（-

3

2

，

3

，0），
D（0，0，

3

2

），E（-

1

2

，0，0）；
∴

DE

=（-

1

2

，0，-

3

2

），

EA

=（2，0，0），

EC

（-1，

3

，0）；
設(shè)平面DEA的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

n • DE =0 n • EA =0

，即

- 1 2 x- 3 2 z=0 2x=0

，
取

n1

=（0，1，0）；
同理平面PAE的法向量為

n2

=（

3

，1，-1），
∴二面角A-DE-B的余弦值為
cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

0× 3 +1×1+0×(-1)

1× ( 3 )2+12+(-1)2

=

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的證明問題，也考查了空間向量的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系并寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，是中檔題．