Question

1．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）設集合A={x|f（x）=x}．
①若A={1，2}，且f（0）=2，求f（x）的解析式；
②若A={1}，且a≥1，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值M（a）．
（2）設f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，a＞0，f（c）=0，且當0＜x＜c時，f（x）＞0．用反證法證明：$\frac{1}{a}＞c$．

Answer 1

分析 （1）①根據根與系數的關系求出a，b的值，從而求出f（x）的表達式；②根據韋達定理以及二次函數的對稱軸得到M（a）即可；
（2）假設$\frac{1}{a}$≤c，根據f（c）=0，所以另一個根為$\frac{1}{a}$，得出矛盾，從而原結論正確．

解答 解：（1）①由f（0）=2可知c=2，又A={1，2}，
故1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的兩實根．
∴1+2=$\frac{1-b}{a}$，2=$\frac{c}{a}$，
解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
②由題意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有兩相等實根x₁=x₂=1，
根據韋達定理得到：1+1=$\frac{1-b}{a}$，1=$\frac{c}{a}$，即b=1-2a，c=a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]，
其對稱軸方程為x=$\frac{2a-1}{2a}$=1-$\frac{1}{2a}$，
又a≥1，故1-$\frac{1}{2a}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴M（a）=f（-2）=9a-2，
（2）假設$\frac{1}{a}$≤c，設f（x）=0的兩個實根為x₁，x₂，則x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
因為f（c）=0，所以另一個根為$\frac{1}{a}$，即f（$\frac{1}{a}$）=0，
而f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，且a＞0，
所以$\frac{1}{a}$∈（0，c）這與當0＜x＜c時，f（x）＞0矛盾．
所以假設不成立，即$\frac{1}{a}$＞c．

點評 本題考察了二次函數的性質，考察韋達定理，反證法，本題是一道中檔題．