Question

1．設(shè)命題p：方程$\frac{x^2}{k-1}+\frac{y^2}{7-k}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：函數(shù)f（x）=x³+（k-3）x+1既有極大值點(diǎn)，又有極小值點(diǎn)．若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出兩個(gè)命題的為真命題的等價(jià)條件，利用復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行判斷求解．

解答 解：p真：則$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{7-k＞0}\\{7-k＞k-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{k＜7}\\{k＜4}\end{array}\right.$，即1＜k＜4…（2分）
若f（x）=x³+（k-3）x+1既有極大值點(diǎn)，又有極小值點(diǎn)，
則函數(shù)的f′（x）=3x²+（k-3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則k-3＜0，即k＜3，即q真：k＜3…（4分），
若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，
則p，q為一真一假
①若p真q假：$\left\{\begin{array}{l}1＜k＜4\\ k≥3\end{array}\right.⇒3≤k＜4…$（7分）
②若p假q真：$\left\{\begin{array}{l}{k≥4或k≤1}\\{k＜3}\end{array}\right.$，得k≤1（10分）
綜上，k≤1或3≤k＜4，（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假的應(yīng)用，根據(jù)條件求出兩個(gè)命題的為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．