Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M的方程為x²+y²-8x-2y+16=0，若直線kx-y+3=0上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓M有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$]
• B． [0，+∞）
• C． [-$\frac{4}{3}$，0]
• D． （-∞，$\frac{4}{3}$]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心M的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線kx-y+3=0上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓M有公共點(diǎn)，得到以M為圓心，2為半徑的圓與直線kx-y+3=0有公共點(diǎn)，即圓心到直線kx-y+3=0的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答 解：將圓M的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-4）²+（y-1）²=1，
∴圓心C（4，1），半徑r=1，
∵直線kx-y+3=0上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓M有公共點(diǎn)，
∴只需圓C′：（x-4）²+（y-1）²=4與kx-y+3=0有公共點(diǎn)，
∵圓心（4，1）到直線kx-y+3=0的距離d=$\frac{|4k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，
解得：-$\frac{4}{3}$≤k≤0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．