Question

閱讀材料：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求a₁²+a₂²的取值范圍．
解：設(shè)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²
∵f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²≥0對x∈R恒成立
∴△=4（a₁+a₂）²-8（a₁²+a₂²）=4-8（a₁²+a₂²）≤0
∴a₁²+a₂²≥

1

2

，當且僅當a₁=a₂時等號成立
∴a₁²+a₂²的取值范圍是[

1

2

，+∞）
根據(jù)你對閱讀材料的理解和體會，已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，其中n≥2，且n∈N^*，求a₁²+a₂²+…+a_n²的取值范圍．

Answer 1

考點：類比推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：由已知中閱讀材料：令f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…++（x-a₂）²，進而根據(jù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²≥0對x∈R恒成立，△≤0，可得a₁²+a₂²+…+a_n²的取值范圍是[

1

n

，+∞）

解答： 解：由已知中閱讀材料：
當a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1時，
令f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…++（x-a₂）²=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
∵f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²≥0對x∈R恒成立
∴△=4（a₁+a₂+…+a_n）²-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
∴a₁²+a₂²+…+a_n²的取值范圍是[

1

n

，+∞）

點評：本題考查的知識點是類比推理，熟練掌握類比推理的方法，依照已知進行推論是解答的關(guān)鍵．