【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為4.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）設直線l過點（2,0）且與橢圓C相交于不同的兩點A、B，直線與x軸交于點D,E是直線上異于D的任意一點，當時，直線BE是否恒過x軸上的定點？若過，求出定點坐標，若不過，請說明理由。

【答案】（1）（2）直線BE恒過x軸上的定點，詳見解析

【解析】

（1）利用離心率，短軸長4，列關于的方程組，解方程即可求得橢圓C的標準方程。

（2）當斜率不存在時，可得直線BE過定點，當斜率存在時，，設出的坐標，求出直線BE的方程，求出與x軸的交點表達式，即證,

根據(jù)的特點，將直線l和橢圓聯(lián)立，得到，代入，可得式子成立，即證明直線BE恒過x軸上的定點。

解：（1）由題意得。解得，

所以橢圓C的標準方程為

（2）直線BE恒過x軸上的定點

證明如下：

因為.所以，

因為直線l過點

①當直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為，

不妨設則

此時，直線BE的方程為，

所以直線BE過定點；

②直線l的斜率存在且不為零時，設直線l的方程為，，所以.

直線，令，得

即，又

所以

即證

即證

聯(lián)立,消x得，

因為點在C內(nèi)，所以直線l與C恒有兩個交點，

由韋達定理得，

代入（*）中得

所以直線BE過定點，

綜上所述，直線BE恒過x軸上的定點.

練習冊系列答案
相關習題

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（1）設，求的最小值；

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等級

珍品

特級

優(yōu)級

一級

箱數(shù)

40

30

10

20

售價（元/kg）

36

30

24

18

（1）試計算樣本中的100箱不同等級橙子的平均價格；

（2）按照分層抽樣的方法，從這100個樣本中抽取10箱，試計算各等級抽到的箱數(shù)；

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線：，（為參數(shù)），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的后得到曲線，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。

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【題目】“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（=1,2，…，6），如表所示：

試銷單價（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量（件）

q

84

83

80

75

68

已知．

（Ⅰ）求出的值；

（Ⅱ）已知變量具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量（件）關于試銷單價（元）的線性回歸方程；

（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計分別為,)

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【題目】下列說法正確的是（ ）

A. 設是實數(shù)，若方程表示雙曲線，則.

B. “為真命題”是“為真命題”的充分不必要條件.

C. 命題“，使得”的否定是：“，”.

D. 命題“若為的極值點，則”的逆命題是真命題.

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【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．

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(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

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