Question

11．將函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sinx的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，方程f（x）=m有唯一實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式．
（2）由題意可得當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍．

解答 解：（1）將y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，保持縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，
可得y=f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
（2）∵x∈[0，3π]，∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∵當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，方程f（x）=m有唯一實(shí)數(shù)根，∴函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：故方程f（x）=m有唯一實(shí)數(shù)根的m的取值范圍為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{1，-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．