Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用特殊值法，求證f（0）=0，令y=-x即可求證；
（2）由（1）得f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），利用定義法進行證明；
（3）由函數(shù)為減函數(shù)，求出f（-2）和f（4）繼而求出函數(shù)的值域，

解答： 解：（1）證明：∵f（x）的定義域為R，令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（0）=f（x）+f（-x）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）是R上的減函數(shù)．
（3）∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=4．
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（2）=-f（-2）=-4，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-8．
由（2）知f（x）是R上的減函數(shù)，
所以當x=-2時，f（x）取得最大值，最大值為f（-2）=4；
當x=4時，f（x）取得最小值，最小值為f（4）=-8．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的值域為[-8，4]．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．