Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B．
（1）若直線FB的一個(gè)方向向量為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=$\sqrt{2}$，直線l：y=kx-2與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=3，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）利用直線FB的一個(gè)方向向量為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求出c，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）直線l：y=kx-2與橢圓C聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=3，建立方程，即可求實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：（1）由題意，F(xiàn)（-c，0），B（0，1），
∵直線FB的一個(gè)方向向量為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{1+3}$=2；
（2）橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F(xiàn)（-1，0）
直線l：y=kx-2與橢圓C聯(lián)立可得（1+2k²）x²-8kx+6=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則x₁+x₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$
所以y₁y₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
故$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=$\frac{11+8k}{1+2{k}^{2}}$=3，
∴3k²-4k-4=0，
∴k=2或-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識，屬于中檔題．