Question

2．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線，交雙曲線左右支分別于A，B兩點且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{13}+1}{2}$

Answer 1

分析 由題意，設直線的斜率為$\sqrt{3}$，直線的傾斜角為60°，利用過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線，交雙曲線左右支分別于A，B兩點且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，可得|AF₁|=2a，求出A（a-c，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得e的方程，代入驗算可得結論．

解答 解：由題意，設直線的斜率為$\sqrt{3}$，直線的傾斜角為60°，
∵過F₁作圓：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切線，交雙曲線左右支分別于A，B兩點且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，
∴|AF₁|=2a，
∴A（a-c，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得$\frac{（a-c）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
∴（e²-1）（e²-2e）=3
代入驗算可得e=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的性質，屬于中檔題．