Question

10．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB上一點，N是A₁C的中點，MN⊥平面A₁DC．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁DC；
（2）求MN與平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）利用正方體中的棱與面的關系可得CD⊥平面ADD₁A₁，進一步得到CD⊥AD₁，再結合AD₁⊥A₁D，運用線面垂直的判定得答案；
（2）由已知MN⊥平面A₁DC結合（1）的結論可得AD₁與平面ABCD所成的角，就是MN與平面ABCD所成的角，進一步可得∠D₁AD即為AD₁與平面ABCD所成的角，則答案可求．

解答 （1）證明：由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，得CD⊥平面ADD₁A₁，
AD₁?平面ADD₁A₁
∴CD⊥AD₁，
又AD₁⊥A₁D，且A₁D∩CD=D，
∴AD₁⊥平面A₁DC；
（2）解：∵MN⊥平面A₁DC，
又由（1）知AD₁⊥平面A₁DC，
∴MN∥AD₁，
∴AD₁與平面ABCD所成的角，就是MN與平面ABCD所成的角，
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴∠D₁AD即為AD₁與平面ABCD所成的角，
由正方體可知$∠{D}_{1}AD=\frac{π}{4}$，
∴MN與平面ABCD所成的角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷，考查了線面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．