Question

19．在四面體A-BCD中，有兩條棱的長(zhǎng)為a（a＞0），其余棱的長(zhǎng)度為1．
（1）若a=$\frac{3}{2}$，且AB=AC=$\frac{3}{2}$，求二面角A-BC-D的余弦值；
（2）求a的取值范圍，使得這樣的四面體是存在的．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，作出二面角的平面角，利用余弦定理得答案；
（2）分兩條長(zhǎng)為a的棱相交與兩條長(zhǎng)為a的棱互為對(duì)棱分析，結(jié)合運(yùn)動(dòng)思想與極限思想求得每一種情況的a的范圍，最后取并集得答案．

解答 解：（1）如圖，
過A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，則∠AED為二面角A-BC-D的平面角，
在等邊三角形BCD中，∵BC=CD=BD=1，∴DE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在等腰三角形ABC中，∵AB=AC=$\frac{3}{2}$，BC=1，∴AE=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\sqrt{2}$．
在△AED中，由余弦定理得cos∠AED=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{24}$；
（2）當(dāng)兩條長(zhǎng)為a的棱相交時(shí)，不妨設(shè)AB=AC=a，AD=BD=CD=BC=1，
∵面ABC與平面BCD重合且A，D在BC異側(cè)時(shí)，AE=$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)AB=AC=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
面ABC與平面BCD重合且A，D在BC同側(cè)時(shí)，AE=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)AB=AC=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}＜a＜\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)兩條長(zhǎng)為a的棱互為對(duì)棱時(shí)，不妨設(shè)BC=AD=a，AB=AC=BD=CD=1，BC，AD可以無限趨近于0，
當(dāng)ABCD為平面四邊形時(shí)a=$\sqrt{2}$，
∴0$＜a＜\sqrt{2}$．
綜上，若四面體存在，則0＜a$＜1+\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了二面角的平面角的求法，解答（2）的關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)思想與極限思想的應(yīng)用，是中檔題．