Question

已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2同時(shí)滿足下列條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）g（x）＜0；
則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由①可得當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）＜0，根據(jù)②可得當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在x軸的上方有圖象，故有

a＜0 -2a≠a+3 -1＜-2a -1＜a+3 -2a＞1或a+3＞1

，由此解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根據(jù)①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）不能同時(shí)取非負(fù)值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）＜0；
當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）＞0．
故當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）＜0．
根據(jù)②?x∈（1，+∞），使f（x）•g（x）＜0成立，
而當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，
即當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在x軸的上方有圖象，
故函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象如圖所示：
綜合以上，可得

a＜0 -2a≠a+3 -1＜-2a -1＜a+3 -2a＞1或a+3＞1

a＜0 -2a≠a+3 f(1)＞0 f(-1)＜0

，
解得：a∈（-4，-1）∪（-1，0）．
故答案為：（-4，-1）∪（-1，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．