Question

11．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂為左右焦點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，且S${\;}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且滿足|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|=|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得方程${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²；從而聯(lián)立解出橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=r²，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，則可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0；再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線的方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$；y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；從而再由x₁x₂+y₁y₂=0可得3m²-8k²-8=0，從而可解得m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；從而解出所求圓的方程為x²+y²=$\frac{8}{3}$；再驗(yàn)證當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)也成立即可．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得，
${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²；
聯(lián)立解得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=r²，
使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，
∵|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|=|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0；
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線的方程為y=kx+m，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0；
即8k²-m²+4＞0；
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$；
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
要使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
故x₁x₂+y₁y₂=0；
即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0；
所以3m²-8k²-8=0，
所以3m²-8≥0且8k²-m²+4＞0；
解得m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{8}{3}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{8}{3}$；
故r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
即所求圓的方程為x²+y²=$\frac{8}{3}$；
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）；
滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=$\frac{8}{3}$滿足條件．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用，化簡很復(fù)雜，應(yīng)用到了根與系數(shù)的關(guān)系以簡化運(yùn)算，屬于難題．