Question

16．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求自然數(shù)m的值．

Answer 1

分析 由x²+x+1＞0恒成立，可得原不等式即為（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0恒成立．當(dāng)3-m=0，即m=3時(shí)，不等式可化為-x-1≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x不都成立，故不滿足題意；當(dāng)m≠3時(shí)，y=（3-m）x²+（2-m）x+2-m的圖象是拋物線，它的函數(shù)值要非負(fù)，則開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：由x²+x+1＞0恒成立，可得原不等式即為
（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0恒成立．
當(dāng)3-m=0，即m=3時(shí)，不等式可化為-x-1≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x不都成立，故不滿足題意；
當(dāng)m≠3時(shí)，y=（3-m）x²+（2-m）x+2-m的圖象是拋物線，它的函數(shù)值要非負(fù)，
則開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{△=（2-m）^{2}-4（3-m）（2-m）≤0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜3}\\{m≥\frac{10}{3}或m≤2}\end{array}\right.$，
解得m≤2；
則自然數(shù)m的值為0，1，2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論，將函數(shù)值非負(fù)，轉(zhuǎn)化為開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)．