Question

4．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且∠A：∠B：∠C=1：2：6，求證：$\frac{a}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，要證$\frac{a}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$，只需證a²+ab+ac=ab+b²即a（a+c）=b²，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使得BD=BA，連接AD，只需證CB•CD=CA²，只需證△CAB∽△CDA，即可得解．

解答 證明：設(shè)∠BAC=α，由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+6α=180°，
解得：α=20°，
∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．
延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使得BD=BA=c，連接AD，如圖所示．
∵BD=BA，∠ABC=40°，
∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，
∴∠D=20°，
∴∠D=∠BAC．
∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，
∴△CAB∽△CDA，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，
∴$\frac{a+c}$=$\frac{a}$．
設(shè)$\frac{a+c}$=$\frac{a}$=k，
則有b=k（a+c），a=kb．
∴$\frac{a+b}{a+b+c}$=$\frac{kb+k（a+c）}{a+b+c}$=$\frac{k（a+b+c）}{a+b+c}$=k，
∴$\frac{a}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$．故得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理與余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．