Question

19．在四邊形ACBD中，將點A沿著$\overrightarrow{a}$=（-1，3）方向平移得點B，將$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）繞著坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$得到$\overrightarrow{OD}$，若四邊形ACBD的對角線相互垂直，則tanα=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意和誘導(dǎo)公式求出$\overrightarrow{OD}$的坐標，再由向量的減法運算求出$\overrightarrow{CD}$的坐標，根據(jù)向量垂直的條件和向量的數(shù)量積運算列出方程并化簡，由商的關(guān)系求出tanα的值．

解答 解：由題意得在四邊形ACBD中，對角線是AB、CD，
因為將$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）繞著坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$得到$\overrightarrow{OD}$，
所以$\overrightarrow{OD}$=（cos（α-$\frac{π}{2}$），sin（α-$\frac{π}{2}$））=（sinα，-cosα），
則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$=（sinα-cosα，-cosα-sinα），
因為將點A沿著$\overrightarrow{a}$=（-1，3）方向平移得點B，且對角線相互垂直，
所以（-1，3）•（sinα-cosα，-cosα-sinα）=0，
則-（sinα-cosα）+3（-cosα-sinα）=0，
解得4sinα=-2cosα，則tanα=$-\frac{1}{2}$，
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的條件，向量的減法運算，以及誘導(dǎo)公式、商的關(guān)系，屬于中檔題．