Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

2

）=1，對于x，y∈（0，+∞），當且僅當x＞y時f（x）＜f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（-x）+f（3-x）≥-2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）可得f（1）；
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中給xy取值得出f（4）=-2，把f（-x）+f（3-x）≥-2轉(zhuǎn)化為f[-x（3-x）]≥f（4），利用單調(diào)性解不等式．

解答： 解：（1）∵函數(shù)定義在（0，+∞）上，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1代入上式得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
（2）令x=2，y=

1

2

代入f（xy）=f（x）+f（y），
f（1）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1，而f（1）=0，
∴f（2）=-1，
令x=2，y=2代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∵f（-x）+f（3-x）=f[-x（3-x）]
∴f（-x）+f（3-x）≥-2可化為f[-x（3-x）]≥f（4），
又對于x，y∈（0，+∞），當且僅當x＞y時f（x）＜f（y），
∴函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

解得-1≤x＜0

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．