Question

19．設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ（1-x）²在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上最大值為a_n（n=1，2，3…），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 利用導數(shù)研究函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性，對n分類討論即可得出．

解答 解：${f}_{n}^{′}（x）$=nx^n-1（x-1）²+2xⁿ（x-1）=x^n-1（x-1）[（n+2）x-n]
=（n+2）x^n-1（x-1）$（x-\frac{n}{n+2}）$，
列出表格如下：

x	$[-\frac{1}{2}，0）$	0	$（0，\frac{n}{n+2}）$	$\frac{n}{n+2}$	$（\frac{n}{n+2}，1）$
${f}_{n}^{′}（x）$	-	0	+	0	-
fn（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而${f}_{n}（-\frac{1}{2}）$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$$（\frac{3}{2}）^{2}$=$\frac{（-1）^{n}•9}{{2}^{n+2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{{2}^{n+2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{9}{{2}^{n+2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
${f}_{n}（\frac{n}{n+2}）$=$（\frac{n}{n+2}）^{n}（\frac{2}{n+2}）^{2}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{n}^{n}}{（n+2）^{n}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{9}{{2}^{n+2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．