Question

10．直線y=x+b（b≠0）交拋物線y=$\frac{1}{2}$x²于A、B兩點(diǎn)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則b的值為2．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)關(guān)系得x₁+x₂和x₁x₂，由OA⊥OB，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，再由數(shù)量積的運(yùn)算列出關(guān)于b的方程，代入坐標(biāo)的和與積后求解b的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得，x²-2x-2b=0，
則△（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0，
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
∴2×（-2b）+2b+b²=0，即-2b+b²=0，
∵b≠0，∴b=2，滿足△=4+8×2=20＞0．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．