Question

1．設a，b為方程x²-6x+4=0的兩根，且a＞b．
（1）證明：a＞0，b＞0；
（2）求$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得ab=4＞0，則a，b的符號相同，又a+b=6＞0，則結論可證；
（2）由（1）得a＞b＞0，則$\sqrt{a}-\sqrt＞0$，有$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}＞0$，求出$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}$的平方，則$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}$的值可求．

解答 （1）證明：由題意得ab=4＞0，則a，b的符號相同．
又a+b=6＞0，則a＞0，b＞0；
（2）解：由（1）得a＞b＞0，則$\sqrt{a}-\sqrt＞0$，有$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}＞0$，
又${（\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}）^2}=\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2}}}{{{{（\sqrt{a}+\sqrt）}^2}}}=\frac{{a+b-2\sqrt{ab}}}{{a+b+2\sqrt{ab}}}=\frac{{6-2\sqrt{4}}}{{6+2\sqrt{4}}}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt}}{{\sqrt{a}+\sqrt}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了有理指數冪化簡求值，考查了不等式的性質，是基礎題．