Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=2x有兩個(gè)相等實(shí)根；設(shè)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）在[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸得到-$\frac{2a}$=1，根據(jù)方程f（x）=2x有兩個(gè)相等實(shí)根，求出b的值，從而求出a的值，求出函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）滿足f（1-x）=f（1+x），
故對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1①，
方程f（x）=2x有兩個(gè)相等實(shí)根，即ax²+（b-2）x=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
故△=（b-2）²=0，解得：b=2，
將b=2代入①，解得：a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x，
g′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令g′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴g（x）在（-∞，-3）遞增，在（-3，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）在[0，1）遞減，在（1，3]遞增，
∴g（x）_最小值=g（1）=-$\frac{5}{3}$，而g（0）=0，g（3）=9，故g（x）_最大值=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．