【題目】已知等差數(shù)列的首項為p,公差為,對于不同的自然數(shù),直線與軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點與(如圖所示),記的坐標(biāo)為,直角梯形、的面積分別為和,一般地記直角梯形的面積為.
(1)求證:數(shù)列是公比絕對值小于1的等比數(shù)列;
(2)設(shè)的公差,是否存在這樣的正整數(shù),構(gòu)成以,,為邊長的三角形?并請說明理由;
(3)設(shè)的公差為已知常數(shù),是否存在這樣的實數(shù)p使得(1)中無窮等比數(shù)列各項的和?并請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)不存在,詳見解析(3)存在,證明見解析
【解析】
(1),直角梯形的兩底長度,.高為,利用梯形面積公式表示出.利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可;
(2),,以,,為邊長能構(gòu)成一個三角形,則考查不等式解的情況作解答;
(3)利用無窮等比數(shù)列求和公式,將化簡為,則,探討p的存在性.
解:(1),,
,
對于任意自然數(shù)n,,
所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比,
因為,所以;
(2),,
對每個正整數(shù),,
若以,,為邊長能構(gòu)成一個三角形,
則,即,
即有,這是不可能的.
所以對每一個正整數(shù),以,,為邊長不能構(gòu)成三角形;
(3)由(1)知,,,
所以,
若,則
兩邊取對數(shù),知只要取值為小于的實數(shù),
就有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形,一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合,數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.如圖,由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于-種分形,具體作法是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線,將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形.
若在圖④中隨機(jī)選。c,則此點取自陰影部分的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(1)若存在,使等式成立,求實數(shù)m的最大值和最小值
(2)若當(dāng)時不等式恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的定義域為恰是不等式的解集,其值域為,函數(shù)的定義域為,值域為.
(1)求函數(shù)定義域為和值域;
(2)是否存在負(fù)實數(shù),使得成立?若存在,求負(fù)實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(3)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是橢圓:的左右兩個焦點,過的直線與交于,兩點(在第一象限),的周長為8,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)設(shè),為的左右頂點,直線的斜率為,的斜率為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一條景觀道的一端有一個半徑為米的圓形摩天輪O,逆時針分鐘轉(zhuǎn)一圈,從處進(jìn)入摩天輪的座艙,垂直于地面,在距離處米處設(shè)置了一個望遠(yuǎn)鏡.
(1)同學(xué)甲打算獨(dú)自乘坐摩天輪,但是其母親不放心,于是約定在登上摩天輪座艙分鐘后,在座艙內(nèi)向其母親揮手致意,而其母親則在望遠(yuǎn)鏡中仔細(xì)觀看.問望遠(yuǎn)鏡的仰角應(yīng)調(diào)整為多少度?(精確到1度)
(2)在同學(xué)甲向其母親揮手致意的同時,同一座艙的另一名乘客乙在拍攝地面上的一條綠化帶,發(fā)現(xiàn)取景的視角恰為,求綠化帶的長度(精確到1米)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)有800名學(xué)員參加交通法規(guī)考試,考試成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:,,,,,規(guī)定90分及以上為合格:
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)學(xué)員交通法規(guī)考試合格的概率;
(3)若三個人參加交通法規(guī)考試,估計這三個人至少有兩人合格的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線系(),則下列命題中是真命題的個數(shù)是( )
①存在一個圓與所有直線相交;
②存在一個圓與所有直線不相交;
③存在一個圓與所有直線相切;
④中所有直線均經(jīng)過一個定點;
⑤不存在定點不在中的任一條直線上;
⑥對于任意整數(shù),存在正邊形,其所有邊均在中的直線上;
⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
A.3B.4C.5D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)在函數(shù)的圖象上取兩個不同的點,令直線AB的斜率
為k,則在函數(shù)的圖象上是否存在點,且,使得?若存
在,求A,B兩點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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