20．已知橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1內(nèi)有兩點A（1，3），B（3，0），P為橢圓上一點，則|PA|+|PB|的最大值為（　�。�
A．10B．15C．4D．5

分析 根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點坐標為B（3，0）和B'（-3，0）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當且僅當點P在AB'延長線上時，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15達到最大值，從而得到本題答案．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1，
∴焦點坐標為B（3，0）和B'（-3，0）
連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，得|PB|+|PB'|=2a=10，
可得|PB|=10-|PB'|，
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|，
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+$\sqrt{（1+3）^{2}+（3-0）^{2}}$=10+5=15，
當且僅當點P在AB'延長線上時，等號成立．
綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為15．
故選B．

點評 本題給出橢圓內(nèi)部一點A，求橢圓上動點P與A點和一個焦點距離B和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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