Question

如圖，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點，已知AC=BC=CD=1，AE=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）證明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：

分析：（Ⅰ）證明DF⊥平面ABE，只需證明CG⊥平面ABE，DF∥CG即可；
（Ⅱ）取BD的中點M，連接CM，連接AM，則BD⊥AM，所以∠ANC是二面角A-BD-C的平面角，即可求二面角A-BD-C的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點G，連接CG、FG．
因為CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．
又因為CD=1，GF=

1

2

AE，所以CD=GF．
所以四邊形CDFG是平行四邊形，DF∥CG．（2分）
在等腰Rt△ACB中，G是AB的中點，所以CG⊥AB．
因為EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以EA⊥CG．
而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．
又因為DF∥CG，所以DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：因為AC⊥BC，AC⊥CD，BC∩CD=C，所以AC⊥平面BCD，
取BD的中點M，連接CM，則
因為BC=CD，所以CM⊥BD，
連接AM，則BD⊥AM，所以∠ANC是二面角A-BD-C的平面角，
因為BC=CD=1，BC⊥CD，所以CM=

1

2

BD=

2

2

，
因為AC=1，所以tan∠AMC=

AC

CM

=

2

，
所以二面角A-BD-C的正切值為

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角A-BD-C的平面角，正確運用線面垂直的判定定理，作出二面角的平面角是關(guān)鍵．