Question

設(shè)函數(shù)f（x）=b•ln（x+1）+x²其中b≠0．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，寫出b的取值范圍及函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

，令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在（-

1

2

，+∞）上遞增，在（-1，-

1

2

）上遞減，從而g（x）_min=g（-

1

2

）=-

1

2

+b，當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，g（x）_min=-

1

2

+b＞0，進(jìn)而求出b的范圍，
（2）由（1）知當(dāng)b＞

1

2

時(shí)函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)，再分別討論當(dāng)b=

1

2

時(shí)，當(dāng)b＜

1

2

時(shí)的范圍，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，
（3）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．令h（x）=x³-x²+ln（x+1），由h（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，得恒有h（x）＞h（0）=0即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，對(duì)任意正整數(shù)n，取x=

1

n

得ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞），
由f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

，
令g（x）=2x²+2x+b，
則g（x）在（-

1

2

，+∞）上遞增，在（-1，-

1

2

）上遞減，
∴g（x）_min=g（-

1

2

）=-

1

2

+b，
當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，g（x）_min=-

1

2

+b＞0，
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知當(dāng)b＞

1

2

時(shí)函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)．
當(dāng)b=

1

2

時(shí)，f′（x）=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈（-1，-

1

2

）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（-

1

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴b=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)．
當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，解f′（x）=0得兩個(gè)不同解x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
此時(shí)f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，x₁，x₂∈（-1，+∞）f′（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此時(shí)f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x₁=

-1- 1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

，
綜上可知，b＜0，時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

，
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x₁=

-1- 1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

，
b≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)．
（3）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．
令h（x）=x³-x²+ln（x+1），
∴h（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0，
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，對(duì)任意正整數(shù)n，
取x=

1

n

得ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，參數(shù)的取值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．