Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，S_n為{a_n}的前n項和，且S_n=$\frac{{1-{a_n}}}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列$\left\{{\left.{\frac{1}{b_n}}\right\}}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n與S_n之間的關(guān)系、計算可知數(shù)列{a_n}構(gòu)成首項、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知log₃a_n=-n，從而b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項可知$\frac{1}{_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{{1-{a_n}}}{2}$-$\frac{1-{a}_{n-1}}{2}$，
整理得：a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1-{a}_{1}}{2}$，即a₁=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴其通項公式a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+…+n）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=-2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=-$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，利用a_n與S_n之間的關(guān)系以及裂項、并項相加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．