Question

10．若函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，均有f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
（1）判斷函數(shù)y=x³是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（2）求證：函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）具有性質(zhì)P；
（3）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*）．
求證：對任意i∈{1，2，3，…，n-1}都有f（i）≤0．

Answer 1

分析 （1）由y=x³，舉出當x=-1時，不滿足f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到結論；
（2）運用指數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式即可得證；
（3）由于本題是任意性的證明，從正面證明比較困難，故可以采用反證法進行證明，即假設f（i）為f（1），f（2），…，f（n-1）中第一個大于0的值，由此推理得到矛盾，進而假設不成立，原命題為真．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=x³不具有性質(zhì)P．
例如，當x=-1時，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜2f（-1），
此函數(shù)不具有性質(zhì)P；
（2）證明：由函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1），可得f（x-1）+f（x+1）=a^x-1+a^x+1
=a^x（a+a^-1）＞2a^x•$\sqrt{a•{a}^{-1}}$=2a^x=2f（x），
故函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）具有性質(zhì)P；
（3）證明：假設f（i）為f（1），f（2），…，f（n-1）中第一個大于0的值，
則f（i）-f（i-1）＞0，
因為函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，
所以，對于任意n∈N^*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，與f（n）=0矛盾，
所以，對任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，反證法，其中在證明全稱命題為假命題時，舉出反例是最有效，快捷，準確的方法．