Question

7．已知不等式x²+px＞4x+p-4．
（1）若不等式在2≤x≤4時有解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）若不等式在0≤p≤6時恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式x²+px＞4x+p-4化為x²+（p-4）x+4-p＞0①，設(shè)f（x）=x²+（p-4）x+4-p，不等式①在2≤x≤4時有解時，f（2）＞0，或f（4）＞0，由此求出p的取值范圍；
（2）不等式x²+px＞（4x+p-4）化為p（x-1）+（x²-4x+4）＞0②，設(shè)g（p）=p（x-1）+（x²-4x+4），0≤p≤6時不等式②恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（6）＞0}\end{array}\right.$，求出x的取值范圍即可．

解答 解：（1）不等式x²+px＞4x+p-4可化為x²+（p-4）x+4-p＞0①，
設(shè)f（x）=x²+（p-4）x+4-p，
當(dāng)不等式①在2≤x≤4時有解時，
即存在x∈[2，4]，使f（x）＞0，
所以f（2）＞0，或f（4）＞0成立，
即4+2（p-4）+4-p＞0，或16+4（p-4）+4-p＞0，
解得p＞-$\frac{3}{4}$；
（2）不等式x²+px＞（4x+p-4）化為p（x-1）+（x²-4x+4）＞0②，
設(shè)g（p）=p（x-1）+（x²-4x+4），
因?yàn)?≤p≤6時不等式②恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（6）＞0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4＞0}\\{6（x-1）{+（x}^{2}-4x+4）＞0}\end{array}\right.$，
解得x＜-1-$\sqrt{3}$，或x＞-1+$\sqrt{3}$，且x≠-2．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的恒成立問題，也考查了不等式在某一閉區(qū)間上有解的問題，是綜合性題目．