Question

9．定于在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，若x∈（-2，0]時(shí)，f（x）≤k有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [-$\frac{1}{2}，+∞$）
• C． [-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{8}$]
• D． [-$\frac{1}{8}，+∞$）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，求出x∈（-2，0]時(shí)，函數(shù)的最小值，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，
故當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋篬-1，0]，
又由函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
∴x∈（-2，0]時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬-$\frac{1}{2}$，0]，
若x∈（-2，0]時(shí)，f（x）≤k有解，
則k≥$-\frac{1}{2}$，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{1}{2}，+∞$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，存在性問題，解答的關(guān)鍵是將存在性問題，轉(zhuǎn)化為最值問題．