Question

已知定義在R上的單調遞增奇函數f(x)，若當0≤θ≤時，f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，則實數m的取值范圍是________．

Answer 1

　(－，＋∞)

解析　方法一　f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0⇒f(cos²θ＋2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos²θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1－sin²θ.

當θ＝時，2m·0>－2，此時m∈R；

當0≤θ<時，m>令t＝1－sin θ，

則t∈(0,1]，此時．

設φ(t)＝－(t＋－2)，

而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，

故m>－.

方法二　同方法一，求得2m(1－sin θ)>－1－sin²θ，

設sin θ＝t，則t²－2mt＋2m＋1>0對于t∈[0,1]恒成立．

設g(t)＝t²－2mt＋2m＋1，其圖象的對稱軸方程為t＝m.

①當m<0時，g(t)在[0,1]上單調遞增，

從而g(0)＝2m＋1>0，即m>－，

又m<0，所以－<m<0.

②當0≤m≤1時，g(t)在[0，m]上單調遞減，在[m,1]上單調遞增，

從而g(m)＝m²－2m²＋2m＋1>0，即m²－2m－1<0，

所以1－<m<1＋.

又m∈[0,1]，所以0≤m≤1.

③當m>1時，g(t)在[0,1]上單調遞減，

從而g(1)＝1－2m＋2m＋1＝2>0恒成立，所以m>1.

綜合①②③，可知m>－.