Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P(1，)到拋物線C：y²＝2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上．

(1)求曲線C的方程及t的值；

(2)記d＝，求d的最大值．

Answer 1

解　(1)y²＝2px(p>0)的準(zhǔn)線x＝－，

∴1－(－)＝，p＝，

∴拋物線C的方程為y²＝x.

又點M(t,1)在曲線C上，∴t＝1.

(2)由(1)知，點M(1,1)，從而n＝m，即點Q(m，m)，

依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，

設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)．

且A(x₁，y₁)，B(x₂.y₂)，

由得(y₁－y₂)(y₁＋y₂)＝x₁－x₂，

故k·2m＝1，

所以直線AB的方程為y－m＝(x－m)，

即x－2my＋2m²－m＝0.

由消去x，

整理得y²－2my＋2m²－m＝0，

所以Δ＝4m－4m²>0，y₁＋y₂＝2m，y₁y₂＝2m²－m.

當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－m，即m＝時，上式等號成立．

又m＝滿足Δ＝4m－4m²>0，∴d的最大值為1.