Question

5．已知平面向量$\overrightarrowa$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，$|{m\overrightarrow a+（2-4m）\overrightarrow b}|$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow|=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可得到$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow{|}^{2}=12{m}^{2}-12m+4$，而配方即可求得$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow{|}^{2}≥1$，從而便可得出$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow|$的最小值．

解答 解：根據(jù)條件：$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow{|}^{2}={m}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$$+2m（2-4m）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+（2-4m）^{2}{\overrightarrow}^{2}$
=4m²+2m（2-4m）+（2-4m）²
=12m²-12m+4
=$12（m-\frac{1}{2}）^{2}+1≥1$；
∴$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow|≥1$；
∴$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow|$的最小值為1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，掌握本題要求$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow|$的最小值，而求$|m\overrightarrow{a}+（2-4m）\overrightarrow{|}^{2}$的范圍的方法，不等式的性質(zhì)，以及配方求二次函數(shù)最值的方法．