Question

18．若不等式ln$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥xln4對(duì)任意x∈（-∞，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，-$\frac{43}{32}$]
• D． [-$\frac{43}{32}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得1-2a≥$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$在x≤2恒成立，由y=$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$=4-$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{{4}^{x}}$=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}}$）²，x≤2，由t=$\frac{1}{{2}^{x}}$（t≥$\frac{1}{4}$），可得y=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+t）²遞減，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，可得最大值，解a的不等式可得所求范圍．

解答 解：不等式ln$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥xln4對(duì)任意x∈（-∞，2]恒成立，
即為$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥4^x，
即1-2a≥$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$在x≤2恒成立，
由y=$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$=4-$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{{4}^{x}}$=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}}$）²，x≤2，
由t=$\frac{1}{{2}^{x}}$（t≥$\frac{1}{4}$），可得y=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+t）²遞減，
即有t=$\frac{1}{4}$，即x=2時(shí)，取得最大值$\frac{59}{16}$，
即有1-2a≥$\frac{59}{16}$，解得a≤-$\frac{43}{32}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和參數(shù)分離，同時(shí)考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．