Question

18．已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+2，x∈R．
（1）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求f（x）的值域．
（2）記（1）中的f（x）的值域?yàn)榧�合A，若關(guān)于x的方程x²-（a+1）x+a+1=0在x∈A上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）配方法化簡(jiǎn)f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，從而求函數(shù)的值域；
（2）由（1）可求得f（x）的值域，即集合A=[1，+∞），再令g（x）=x²-（a+1）x+a+1，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥1}\\{△=（a+1）^{2}-4（a+1）≥0}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，
∵x∈[-1，2]，
∴2^x∈[$\frac{1}{2}$，4]，
∴1≤（2^x-1）²+1≤10，
即f（x）的值域?yàn)閇1，10]．
（2）∵f（x）=4^x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1，
∴f（x）的值域，即集合A=[1，+∞），
令g（x）=x²-（a+1）x+a+1，
可知g（1）=1＞0，
∵方程x²-（a+1）x+a+1=0在x∈A上有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥1}\\{△=（a+1）^{2}-4（a+1）≥0}\end{array}\right.$，
解得，a≥3，
故求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了配方法求函數(shù)的值域的方法應(yīng)用及函數(shù)的判斷與應(yīng)用．