Question

14．變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{2}{x}$+1．求證：
（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程f（x）=0沒有負(fù)實(shí)數(shù)限．

Answer 1

分析 （1）首先，任意設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后，作差比較它們函數(shù)值的大小，從而確定其單調(diào)性；
（2）可以設(shè)函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=$\frac{2}{x}$-1．它們?cè)谕�一坐�?biāo)系下的圖象，然后，結(jié)合圖象證明即可．

解答 解：（1）任意設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）
=${e}^{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{1}}+1$-${e}^{{x}_{2}}+\frac{2}{{x}_{2}}-1$
=${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜${e}^{{x}_{1}}＜{e}^{{x}_{2}}$，x₁-x₂＜0，
∴${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{2}{x}$+1．
∴方程f（x）=0，即
e^x-$\frac{2}{x}$+1=0，
∴e^x=$\frac{2}{x}$-1．
可以設(shè)函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=$\frac{2}{x}$-1．它們?cè)谕�一坐�?biāo)系下的圖象如下圖所示：

顯然，沒有負(fù)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，函數(shù)的圖象等知識(shí)，屬于中檔題．