Question

3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-1，0）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），F(xiàn)（-1，0），設(shè)l：y=k（x+1），M（0，k），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，求得Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算即可得到k的值．

解答 解：（1）由題意：$c=1，\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⇒a=2，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），F(xiàn)（-1，0），
設(shè)l：y=k（x+1），M（0，k），
因?yàn)?\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，即有（x₀，y₀-k）=2（-1-x₀，-y₀），
得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-\frac{2}{3}\\{y_0}=\frac{k}{3}\end{array}\right.$，所以$Q（-\frac{2}{3}，\frac{k}{3}）$，
代入橢圓方程可得，$\frac{{\frac{4}{9}}}{4}+\frac{{\frac{k^2}{9}}}{3}=1⇒{k^2}=24⇒k=±2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，同時(shí)考查直線的斜率的求法，注意直線方程和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．