Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到平面PEC的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PC的中點(diǎn)為Q，連接EQ，F(xiàn)Q，證明四邊形AEQF為平行四邊形，得到AF∥EQ，即可證明AF∥平面PEC．
（2）點(diǎn)F到平面PEC的距離等于點(diǎn)A到平面PEC的距離，設(shè)為d．通過(guò)V_A-PEC=V_P-AEC，求解即可．

解答 （1）證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為Q，連接EQ，F(xiàn)Q，由題意，F(xiàn)Q∥DC且$FQ=\frac{1}{2}CD$，AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四邊形AEQF為平行四邊形
所以，AF∥EQ，且EQ?平面PEC，AF?平面AEC
所以，AF∥平面PEC（6分）
（2）解：由（1），點(diǎn)F到平面PEC的距離等于點(diǎn)A到平面PEC的距離，設(shè)為d．
由條件易求$EC=\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{2}$，EQ=$\sqrt{5}$故${S_{△PEC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$${S_{△AEC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以由V_A-PEC=V_P-AEC得$\frac{1}{3}\sqrt{10}•d=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2$，
解得$d=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面距離的求法，等體積法的應(yīng)用，直線(xiàn)與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．