Question

討論函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx在a∈R時(shí)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，分5種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，以確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，ax+a+1＞0，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
f′（x）=

a(x+ a+1 a )(x-1)

x

，
②當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，

a+1

a

＜-1；
故當(dāng)x∈（0，1）∪（-

a+1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，-

a+1

a

）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1），（-

a+1

a

，+∞）上是減函數(shù)，在（1，-

a+1

a

）上是增函數(shù)；
③當(dāng)-1＜a＜-

1

2

時(shí)，-1＜

a+1

a

＜0；
故當(dāng)x∈（0，-

a+1

a

）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-

a+1

a

，1）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，-

a+1

a

），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-

a+1

a

，1）上是增函數(shù)；
④當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f′（x）≤0；
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
⑤當(dāng)a≤-1時(shí)，ax+a+1＜0，
故故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想，分類標(biāo)準(zhǔn)比較難，屬于難題．