Question

19．已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），長軸長是短軸長的2倍，直線l與橢圓Г交于A，B兩點(diǎn)，且M（-2，1）是AB的中點(diǎn)．
（1）求直線l的斜率；
（2）若|AB|=$\sqrt{10}$，求橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2b，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用作差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算即可得到b，a的值，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）由題意可得a=2b，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
由題意可得x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
即有AB的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{-4^{2}}{8^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得直線l的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x+2），
即為y=$\frac{1}{2}$x+2，
代入橢圓方程x²+4y²=4b²，
可得x²+4x+8-2b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-4，x₁x₂=8-2b²，
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{16-4（8-2^{2}）}$=$\sqrt{10}$，
解得b=$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$，
則橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評 本題考查直線的斜率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．