Question

12．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，0≤x≤2}\\{f（x-1），x＞2}\\{\;}\end{array}\right.$，若方程f（x）=kx恰有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合建立g（x）=kx與f（x）的大小關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)2＜x≤3時(shí)，1＜x-1≤2，
則f（x）=f（x-1）=|（x-1）²-1|，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖

∴若方程f（x）=kx恰有4個(gè)不同的根，
則等價(jià)為函數(shù)g（x）=kx在AB之間或在CD之間（包含C，A），
f（5）=f（4）=f（3）=f（2）=3，
要使f（x）=kx恰有4個(gè)不同的根，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（4）=4k≤3}\\{g（5）=5k＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）=-4k≤3}\\{g（-5k）=-5k＞3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k≤\frac{3}{4}}\\{k＞\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥-\frac{3}{4}}\\{k＜-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$，
故答案為：$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．